Stata 12 Média Móvel

Os modelos ARIMA são, em teoria, a classe mais geral de modelos para prever uma série de tempo que pode ser feita para ser estacionária por diferenciação se necessário, talvez em conjunto com transformações não-lineares Tais como registrar ou desinflar, se necessário Uma variável aleatória que é uma série temporal é estacionária se suas propriedades estatísticas são todas constantes ao longo do tempo Uma série estacionária não tem tendência, suas variações em torno de sua média têm uma amplitude constante, e ele se move de forma consistente Ou seja, seus padrões de tempo aleatórios de curto prazo sempre se parecem em um sentido estatístico. A última condição significa que suas correlações de autocorrelações com seus próprios desvios anteriores da média permanecem constantes ao longo do tempo ou, de forma equivalente, que seu espectro de poder permanece constante ao longo do tempo. Variável desta forma pode ser vista como usual como uma combinação de sinal e ruído, eo sinal se um é aparente poderia ser um patt De reversão média rápida ou lenta, ou oscilação sinusoidal, ou alternância rápida no sinal, e também poderia ter uma componente sazonal Um modelo ARIMA pode ser visto como um filtro que tenta separar o sinal do ruído, eo sinal é então Extrapolada para o futuro para obter previsões. A equação de previsão de ARIMA para uma série de tempo estacionária é uma equação de tipo linear de regressão linear, na qual os preditores consistem em atrasos da variável dependente e / ou atrasos dos erros de previsão Isso é. Valor predito de Y Uma soma constante e ou ponderada de um ou mais valores recentes de Y e / ou uma soma ponderada de um ou mais valores recentes dos erros. Se os preditores consistem apenas em valores defasados ​​de Y é um modelo autoregressivo auto-regredido puro, Que é apenas um caso especial de um modelo de regressão e que poderia ser equipado com software de regressão padrão. Por exemplo, um modelo AR 1 auto-regressivo de primeira ordem para Y é um modelo de regressão simples no qual a variável independente i Se apenas alguns dos preditores são defasagens dos erros, um modelo ARIMA não é um modelo de regressão linear, porque não há como especificar o erro do último período s Como uma variável independente, os erros devem ser calculados periodicamente quando o modelo é ajustado aos dados. Do ponto de vista técnico, o problema com o uso de erros retardados como preditores é que as previsões do modelo não são funções lineares do Assim, os coeficientes em modelos ARIMA que incluem erros retardados devem ser estimados por métodos de otimização não-linear escalada em vez de simplesmente resolver um sistema de equações. A sigla ARIMA significa Auto-Regressive Integrated Média Móvel As baixas das séries estacionalizadas na equação de previsão são chamadas de termos autorregressivos, os atrasos dos erros de previsão são chamados de termos de média móvel e uma série de tempo que precisa ser Ser diferenciado para ser feito estacionário é dito ser uma versão integrada de uma série estacionária Random-pé e modelos de tendência aleatória, modelos autorregressivos e modelos de suavização exponencial são todos os casos especiais de modelos ARIMA. Um modelo ARIMA não sazonal é classificado como um ARIMA P, d, q modelo, where. p é o número de termos autorregressivos. d é o número de diferenças não sazonais necessárias para a estacionariedade, e. q é o número de erros de previsão defasados ​​na equação de previsão. A equação de previsão é construída da seguinte forma Notemos que a segunda diferença de Y o caso d 2 não é a diferença de dois períodos atrás. Em vez disso, é a diferença de primeira diferença da primeira diferença que é O análogo discreto de uma segunda derivada, ou seja, a aceleração local da série em vez de sua tendência local. Em termos de y, a equação de previsão geral é. Aqui os parâmetros de média móvel s são definidos de modo que seus sinais sejam negativos na equação Seguindo a convenção introduzida por Box e Jenkins Alguns autores e softwares, incluindo a linguagem de programação R, definem-nos de modo que eles tenham mais sinais ao invés. Quando os números reais são conectados à equação, não há ambigüidade, mas é importante saber qual convenção O software usa quando você está lendo a saída Muitas vezes os parâmetros são indicados por AR 1, AR 2,, e MA 1, MA 2, etc Para identificar o modelo ARIMA apropriado para Y você começa por determinar a ordem de diferenciação d que necessitam Para estacionarizar a série e remover as características brutas da sazonalidade, talvez em conjunto com uma transformação de estabilização de variância, como logging ou deflação Se você parar neste ponto e prever que a série diferenciada é constante, você apenas montou uma caminhada aleatória ou aleatória No entanto, a série estacionária pode ainda ter erros autocorrelacionados, sugerindo que algum número de termos AR p 1 e ou algum número de termos MA q 1 também são necessários Na equação de previsão. O processo de determinar os valores de p, d e q que são melhores para uma dada série de tempo será discutido em seções posteriores das notas cujos links estão no topo desta página, mas uma prévia de alguns Dos tipos de modelos não-temporais ARIMA que são comumente encontrados é dado abaixo. ARIMA 1,0,0 modelo auto-regressivo de primeira ordem se a série é estacionária e autocorrelacionada, talvez ele pode ser previsto como um múltiplo de seu próprio valor anterior, mais um Constante A equação de previsão neste caso é a que é Y regressa sobre si mesma retardada por um período. Este é um modelo de constante ARIMA 1,0,0 Se a média de Y for zero, então o termo constante não seria incluído. Se a inclinação O coeficiente 1 é positivo e menor que 1 em magnitude deve ser menor que 1 em magnitude se Y estiver parado, o modelo descreve o comportamento de reversão de média no qual o valor do próximo período deve ser predito como sendo 1 vezes mais distante da média como Valor do período s Se 1 for negativo, Prediz comportamento de reversão de média com alternância de sinais, ou seja, também prevê que Y estará abaixo do próximo período médio se estiver acima da média desse período. Em um modelo autorregressivo de segunda ordem ARIMA 2,0,0, haveria um Y t-2 termo à direita também, e assim por diante Dependendo dos sinais e magnitudes dos coeficientes, um modelo ARIMA 2,0,0 poderia descrever um sistema cuja reversão média ocorre de forma sinusoidal oscilante, como o movimento De uma massa em uma mola que é sujeita a choques aleatórios. ARIMA 0,1,0 passeio aleatório Se a série Y não é estacionário, o modelo mais simples possível para ele é um modelo de caminhada aleatória, que pode ser considerado como um caso limitativo de Um modelo AR 1 em que o coeficiente autorregressivo é igual a 1, ie uma série com reversão média infinitamente lenta. A equação de predição para este modelo pode ser escrita como. qual o termo constante é a variação média período-período, isto é, a longo prazo Este modelo pode ser montado como uma interceptação sem Em que a primeira diferença de Y é a variável dependente Uma vez que inclui apenas uma diferença não sazonal e um termo constante, é classificada como modelo ARIMA 0,1,0 com constante O modelo randômico-sem-desvio seria Um modelo ARIMA 0,1,0 sem constante. ARIMA 1,1,0 modelo auto-regressivo de primeira ordem diferenciado Se os erros de um modelo randômico randômico são autocorrelacionados, talvez o problema possa ser corrigido adicionando um atraso da variável dependente ao Isto é, regressando a primeira diferença de Y sobre si mesma retardada por um período Isto resultaria na seguinte equação de previsão que pode ser rearranjada para. Este é um modelo autorregressivo de primeira ordem com uma ordem de diferenciamento não sazonal e um termo constante --em um modelo ARIMA 1,1,0.ARIMA 0,1,1 sem alisamento exponencial simples constante Outra estratégia para corrigir erros autocorrelacionados em um modelo de caminhada aleatória é sugerida pelo modelo de suavização exponencial simples. Por exemplo, aqueles que exibem flutuações barulhentas em torno de uma média de variação lenta, o modelo de caminhada aleatória não funciona tão bem quanto uma média móvel de valores passados. Em outras palavras, ao invés de tomar a observação mais recente como a previsão da próxima observação , É melhor usar uma média das últimas observações para filtrar o ruído e estimar com mais precisão a média local O modelo de suavização exponencial simples usa uma média móvel exponencialmente ponderada de valores passados ​​para alcançar esse efeito A equação de previsão para a O modelo de suavização exponencial simples pode ser escrito em um número de formas matematicamente equivalentes, uma das quais é a chamada forma de correção de erro, na qual a previsão anterior é ajustada na direção do erro que ela cometeu. Porque e t-1 Y t - 1 - t-1 por definição, isso pode ser reescrito como. que é uma equação de previsão ARIMA 0,1,1-sem-constante com 1 1 - Isso significa que você pode ajustar um smoo exponencial simples Coisa, especificando-o como um modelo ARIMA 0,1,1 sem constante, eo coeficiente MA 1 estimado corresponde a 1-menos-alfa na fórmula SES Lembre-se que no modelo SES, a idade média dos dados no 1- As previsões de período antecipado é de 1, o que significa que tenderão a ficar para trás em relação a tendências ou pontos de viragem em cerca de 1 períodos. Consequentemente, a idade média dos dados nas previsões de um período de 1 período de um ARIMA 0,1,1 - 1 1 - 1 Assim, por exemplo, se 1 0 8, a idade média é 5 Como 1 se aproxima de 1, o modelo ARIMA 0,1,1-sem constante se torna uma média móvel de muito longo prazo e Quando 1 se aproxima de 0, torna-se um modelo randômico-sem-deriva. Qual é a melhor maneira de corrigir a autocorrelação adicionando termos AR ou adicionando termos MA Nos dois modelos anteriores discutidos acima, o problema de erros autocorrelacionados em um modelo de caminhada aleatória Foi fixado de duas maneiras diferentes adicionando um valor defasado da série diferenciada à equação ou adicionando um valor defasado do foreca St erro Qual abordagem é a melhor Uma regra para esta situação, que será discutida em mais detalhes mais adiante, é que a autocorrelação positiva geralmente é melhor tratada pela adição de um termo AR para o modelo e autocorrelação negativa é geralmente melhor tratada por Adicionando um termo MA Na série econômica e de negócios, a autocorrelação negativa geralmente surge como um artefato de diferenciação. Em geral, a diferenciação reduz a autocorrelação positiva e pode até causar uma mudança de autocorrelação positiva para negativa. Assim, o modelo ARIMA 0,1,1, em Cuja diferenciação é acompanhada por um termo MA, é mais freqüentemente usado do que um modelo ARIMA 1,1,0. ARIMA 0,1,1 com suavização exponencial simples constante com crescimento Ao implementar o modelo SES como um modelo ARIMA, você realmente ganha alguns Flexibilidade Em primeiro lugar, permite-se que o coeficiente de MA 1 estimado seja negativo, o que corresponde a um factor de alisamento superior a 1 num modelo SES, o que normalmente não é permitido pelo procedimento de ajustamento do modelo SES Sec Você tem a opção de incluir um termo constante no modelo ARIMA se desejar, para estimar uma tendência média não-zero. O modelo ARIMA 0,1,1 com constante tem a equação de previsão. As previsões deste modelo são qualitativamente semelhantes às do modelo SES, exceto que a trajetória das previsões de longo prazo é tipicamente uma linha inclinada cuja inclinação é igual a mu ao invés de uma linha horizontal. ARIMA 0,2,1 ou 0, 2,2 sem suavização exponencial linear constante Modelos lineares de suavização exponencial são modelos ARIMA que usam duas diferenças não sazonais em conjunção com os termos MA A segunda diferença de uma série Y não é simplesmente a diferença entre Y e ela mesma retardada por dois períodos, mas sim A primeira diferença da primeira diferença - ou seja, a mudança na mudança de Y no período t Assim, a segunda diferença de Y no período t é igual a Y t - Y t-1 - Y t-1 - Y T-2 Y t-2Y t-1 Y t-2 Uma segunda diferença de uma função discreta é analogou S para uma segunda derivada de uma função contínua mede a aceleração ou curvatura na função em um determinado ponto no tempo. O modelo ARIMA 0,2,2 sem constante prevê que a segunda diferença da série é igual a uma função linear da última Dois erros de previsão. que podem ser rearranjados como. quando 1 e 2 são os coeficientes MA 1 e MA 2 Este é um modelo de alisamento exponencial linear geral essencialmente o mesmo que o modelo de Holt s eo modelo de Brown s um caso especial Ele usa ponderação exponencial Médias móveis para estimar um nível local e uma tendência local na série As previsões de longo prazo deste modelo convergem para uma linha reta cuja inclinação depende da tendência média observada no final da série. ARIMA 1,1,2 sem Este modelo é ilustrado nos slides acompanhantes em modelos ARIMA extrapola a tendência local no final da série, mas aplaina-lo em horizontes de previsão mais longos para introduzir um Ote do conservadorismo, uma prática que tem suporte empírico Veja o artigo sobre Por que a Tendência de Damped trabalha por Gardner e McKenzie eo artigo da regra de ouro por Armstrong et al para detalhes. É geralmente aconselhável ficar com modelos em que pelo menos um de p E q não é maior do que 1, ou seja, não tente encaixar um modelo como o ARIMA 2,1,2, uma vez que isso é susceptível de levar a problemas de overfitting e de fatores comuns que são discutidos com mais detalhes nas notas sobre a matemática Estrutura de modelos ARIMA. Implementação de folha de cálculo Modelos ARIMA como os descritos acima são fáceis de implementar em uma planilha A equação de predição é simplesmente uma equação linear que se refere a valores passados ​​de séries de tempo originais e valores passados ​​dos erros Assim, você pode configurar Uma planilha de previsões ARIMA armazenando os dados na coluna A, a fórmula de previsão na coluna B e os dados de erros menos previsões na coluna C A fórmula de previsão em uma célula típica na coluna B seria simplesmente um expressio linear N referindo-se a valores nas linhas precedentes das colunas A e C, multiplicados pelos coeficientes AR ou MA apropriados armazenados em células em outra parte da planilha. Ao calcular uma média móvel em execução, colocando a média no período médio faz sentido. Por exemplo, calculamos a média dos três primeiros períodos de tempo e colocámo-la junto ao período 3 Poderíamos ter colocado a média no meio do intervalo de tempo de três períodos, isto é, ao lado do período 2 Isto funciona bem com períodos de tempo ímpares, Mas não tão bom para períodos de tempo mesmo Então, onde seria colocar a primeira média móvel quando M 4.Technically, a média móvel iria cair em t 2 5, 3 5.Para evitar esse problema, suavizar o MA s usando M 2 Assim, Suavizar os valores suavizados. Se nós médio um número par de termos, precisamos suavizar os valores suavizados. A tabela a seguir mostra os resultados usando M 4.Moving médias. Moving médias. Com conjuntos de dados convencionais, o valor médio é muitas vezes o primeiro, e Um dos mais úteis, Estatísticas de resumo para calcular Quando os dados estão na forma de uma série de tempo, a média da série é uma medida útil, mas não reflete a natureza dinâmica dos dados Os valores médios calculados em períodos curtos, precedendo o período atual ou centrados na corrente São freqüentemente mais úteis. Como esses valores médios variam ou se movem, à medida que o período atual se move do tempo t 2, t 3 etc., eles são conhecidos como médias móveis. Mas uma média móvel simples é tipicamente a média não ponderada de k valores anteriores. A média móvel ponderada exponencialmente é essencialmente igual a uma média móvel simples, mas com contribuições para a média ponderada pela sua proximidade com o tempo atual. Por não haver uma, mas toda uma série de médias móveis para qualquer série, o conjunto de Mas Podem ser plotadas em gráficos, analisadas como uma série e usadas na modelagem e previsão. Uma gama de modelos pode ser construída usando médias móveis, e estes são conhecidos como modelos de MA Se tais modelos são com Combinados com modelos AR autorregressivos, os modelos compostos resultantes são conhecidos como modelos ARMA ou ARIMA, o I é para médias móveis integradas. Uma vez que uma série temporal pode ser considerada como um conjunto de valores, t 1,2,3,4, n A média desses valores pode ser calculada Se assumirmos que n é bastante grande e selecionamos um inteiro k que é muito menor que n podemos calcular um conjunto de médias de blocos ou médias móveis simples de ordem k. Cada medida representa o Média dos valores de dados sobre um intervalo de k observações Observe que a primeira MA possível de ordem k 0 é a de tk Mais geralmente podemos soltar o subíndice extra nas expressões acima e write. This afirma que a média estimada no tempo t é A média simples do valor observado no tempo t e os intervalos de tempo anteriores de k -1 Se forem aplicados pesos que diminuam a contribuição de observações que estão mais distantes no tempo, a média móvel é dita ser suavizada exponencialmente As médias móveis são frequentemente usadas como uma forma de Previsão, pelo que o valor estimado para uma série no tempo t 1, S t 1 é tomado como o MA para o período até e incluindo o tempo teg hoje s estimativa é baseada em uma média de valores anteriores registados até e incluindo ontem s para Dados diários. As médias móveis simples podem ser vistas como uma forma de suavização. No exemplo ilustrado abaixo, o conjunto de dados de poluição atmosférica mostrado na introdução deste tópico foi aumentado por uma linha MA de 7 dias de média móvel, mostrada aqui em vermelho. A linha de MA suaviza os picos e depressões nos dados e pode ser muito útil na identificação de tendências. A fórmula padrão de cálculo de forward significa que os primeiros pontos de dados k-1 não têm nenhum valor de MA, mas depois os cálculos se estendem até o final Ponto de dados na série. PM10 valores médios diários, Greenwich. source London Air Quality Network. Uma razão para calcular médias móveis simples da maneira descrita é que ele permite que os valores sejam calculados para todos os intervalos de tempo de tempo tk até o presen T, e como uma nova medição é obtida para o tempo t 1, o MA para o tempo t 1 pode ser adicionado ao conjunto já calculado Isto fornece um procedimento simples para conjuntos de dados dinâmicos No entanto, existem alguns problemas com esta abordagem É razoável argumentar Que o valor médio nos últimos 3 períodos, digamos, deve ser localizado no tempo t -1, não no tempo t e para um MA sobre um número par de períodos, talvez ele deve estar localizado no ponto médio entre dois intervalos de tempo A solução A esta questão é usar cálculos centralizados MA, em que o MA no tempo t é a média de um conjunto simétrico de valores em torno de t Apesar de seus méritos óbvios, esta abordagem não é geralmente utilizado porque exige que os dados estão disponíveis para eventos futuros, O que pode não ser o caso Em casos onde a análise é inteiramente de uma série existente, o uso de Mas centralizado pode ser preferível. Simples médias móveis podem ser consideradas como uma forma de suavização, removendo alguns componentes de alta freqüência de uma série de tempo e destacando mas Não é Tendências de movimento de uma maneira similar à noção geral de filtragem digital De fato, as médias móveis são uma forma de filtro linear É possível aplicar um cálculo de média móvel a uma série que já tenha sido suavizada, isto é, suavizar ou filtrar uma série já suavizada Para Por exemplo, com uma média móvel de ordem 2, podemos considerá-la como sendo calculada usando pesos, então a MA em x 2 0 5 x 1 0 5 x 2 Da mesma forma, a MA em x 3 0 5 x 2 0 5 x 3 If Aplicamos um segundo nível de suavização ou filtragem, temos 0 5 x 2 0 5 x 3 0 5 0 5 x 1 0 5 x 2 0 5 0 5 x 2 0 5 x 3 0 25 x 1 0 5 x 2 0 25 X 3 ou seja, o processo de filtragem em dois estágios ou convolução produziu uma média móvel simétrica ponderada variável, com pesos As circunvoluções múltiplas podem produzir médias móveis ponderadas bastante complexas, algumas das quais foram encontradas de uso particular em áreas especializadas, como no seguro de vida As médias de movimentação podem ser usadas para remover efeitos periódicos se computadas com o comprimento do periódico Y como um conhecido Por exemplo, com dados mensais variações sazonais muitas vezes pode ser removido se este é o objetivo de aplicar uma média móvel simétrica de 12 meses com todos os meses ponderados igualmente, exceto o primeiro eo último que são ponderados por 1 2 Isto é porque Haverá 13 meses no modelo simétrico tempo atual, t - 6 meses O total é dividido por 12 procedimentos semelhantes podem ser adotados para qualquer periodicidade bem definida. Máquinas móveis ponderadas exponencialmente EWMA. Com a média móvel simples formula. all observações são Igualmente ponderada Se chamássemos esses pesos iguais, t cada um dos k pesos seria igual a 1 k então a soma dos pesos seria 1 ea fórmula seria. Já vimos que múltiplas aplicações deste processo resultam em pesos variando Com médias móveis exponencialmente ponderadas, a contribuição para o valor médio das observações que são mais removidas no tempo é deliberada reduzida, enfatizando assim os eventos locais mais recentes Essencialmente, um par de suavização Ameter, 0 1, ea fórmula revisada para. A versão simétrica desta fórmula seria da forma. Se os pesos no modelo simétrico são selecionados como os termos dos termos da expansão binomial, 1 2 1 2 2q eles somarão a 1 e, à medida que q se tornar grande, aproximar-se-á da distribuição Normal Esta é uma forma de ponderação do kernel, com o Binomial atuando como função do kernel A circunvolução de dois estágios descrita na subseção anterior é precisamente esse arranjo, com q 1, produzindo os pesos. Em suavização exponencial é necessário usar um conjunto de pesos que somam a 1 e que reduzem em tamanho geométricamente. Os pesos usados ​​são tipicamente da forma. Para mostrar que esses pesos somam 1, considere a expansão de 1 como uma série Podemos write. and expandir a expressão entre parênteses usando a fórmula binomial 1- xp onde x 1 e p -1, o que dá. Isso fornece uma forma de média móvel ponderada da forma. Esta soma pode ser Escrito como uma relação de recorrência. wh Simplifica bastante a computação e evita o problema de que o regime de ponderação deve ser rigorosamente infinito para os pesos somar a 1 para valores pequenos, isto normalmente não é o caso. A notação usada por diferentes autores varia Alguns usam a letra S para indicar que a A fórmula é essencialmente uma variável suavizada, e escreve. Como a literatura da teoria de controle usa freqüentemente Z em vez de S para os valores exponencialmente ponderados ou suavizados ver, por exemplo, Lucas e Saccucci, 1990, LUC1 eo site NIST para mais detalhes e trabalhou Exemplos As fórmulas citadas acima derivam do trabalho de Roberts 1959, ROB1, mas Hunter 1986, HUN1 usa uma expressão da forma. que pode ser mais apropriado para uso em alguns procedimentos de controle Com 1 a estimativa média é simplesmente seu valor medido ou a Valor do item de dados anterior Com 0 5 a estimativa é a média móvel simples das medições atuais e anteriores Em modelos de previsão o valor, S t é freqüentemente usado como a estimativa Ou valor de previsão para o próximo período de tempo, isto é, como a estimativa para x no tempo t 1 Assim temos. Isso mostra que o valor da previsão no tempo t 1 é uma combinação da média móvel ponderada exponencial anterior mais uma componente que representa a ponderada Erro de previsão, no instante t. Assumir uma série de tempo é dada e uma previsão é necessária, um valor para é necessário Isso pode ser estimado a partir dos dados existentes, avaliando a soma dos erros de predição quadrado obter com valores variáveis ​​de para cada t 2, 3 definindo a primeira estimativa como sendo o primeiro valor de dados observado, x 1 Em aplicações de controle o valor de é importante nesse sentido é usado na determinação dos limites de controle superior e inferior e afeta o comprimento de execução médio ARL esperado antes desses controles Os limites são quebrados sob o pressuposto de que as séries temporais representam um conjunto de variáveis ​​independentes aleatoriamente distribuídas com variância comum. Nestas circunstâncias, a variância da estatística de controle é Lucas e Saccucci, 1990. Os limites de controle são geralmente definidos como múltiplos fixos desta variância assintótica, eg - 3 vezes o desvio padrão. Se 0 25, por exemplo, e os dados monitorados forem assumidos como tendo uma distribuição Normal, N 0,1 , Quando em controle, os limites de controle serão -1 134 eo processo atingirá um ou outro limite em 500 passos em média Lucas e Saccucci 1990 LUC1 derivam os ARLs para uma ampla gama de valores e sob várias suposições usando procedimentos de Cadeia de Markov Eles Tabular os resultados, incluindo o fornecimento de ARLs quando a média do processo de controlo foi deslocada por algum múltiplo do desvio padrão. Por exemplo, com um desvio 0 5 com 0 25 o ARL é inferior a 50 passos de tempo. As abordagens descritas acima são conhecidas Como suavização exponencial única como os procedimentos são aplicados uma vez para a série de tempo e, em seguida, análises ou processos de controle são realizadas sobre o conjunto de dados suavizado resultante Se o conjunto de dados inclui uma tendência e ou componentes sazonais, Ou a suavização exponencial em três estágios pode ser aplicada como um meio de remover explicitamente a modelagem desses efeitos, veja a seção sobre Previsão abaixo e o exemplo trabalhado do NIST. CHA1 Chatfield C 1975 A análise da teoria e da prática da série do tempo Chapman e salão, Londres. HUN1 Hunter J S 1986 A média móvel exponencialmente ponderada J de Quality Technology, 18, 203-210. LUC1 Lucas J M, Saccucci M S 1990 Coeficientes de Controle de Média Móvel Ponderados Exponencialmente Propriedades e Melhorias Technometrics, 32 1, 1-12. ROB1 Roberts S W 1959 Testes de gráficos de controle baseados em médias móveis geométricas Technometrics, 1, 239-250.